1 Antecedentes

A análise de Insumo-Produto é uma extensão prática da teoria clássica de interdependência geral que vê a economia total de uma região, país, ou mesmo do mundo todo, como um sistema simples, e parte para descrever e para interpretar a sua operação em termos de relações estruturais básicas observáveis” (Leontief, 1987, p. 860).

François Quesnay (1694-1774) apresentou o Tableau Économique. Quesnay é considerado o fundador da Escola Fisiocrata. O Tableau Économique mostra:

que a agricultura é a atividade econômica produtiva e que a manufatura é a atividade estéril;
como se dá a relação de produção entre estes dois macro-setores da economia.

Contribuições de Leontief:

Desarmamento,
Comércio internacional,
Automação e
Meio ambiente

2 Teoria Básica

Visão geral A economia funciona para equacionar a demanda e a oferta dentro de uma vasta rede de atividades. Leontief conseguiu realizar a construção de uma “fotografia” da economia. Ele mostrou como os setores estão relacionados entre si, ou seja, quais setores suprem os outros de serviços e produtos e quais setores compram dos outros.

Pode-se mostrar que todos os setores estão interligados, direta ou indiretamente. As relações de insumo-produto mostram que os setores podem suprir o processo produtivo ou vender para a demanda final (famílias, governo, investimento, exportações). Para se produzir são necessários insumos, impostos são pagos, importam-se produtos e gera-se valor adicionado, produção e emprego.

Relações fundamentais de Insumo-produto Fonte:Guilhoto (2011)

Fluxograma do modelo de Insumo-Produto Fonte:Guilhoto (2011)

Pressupostos:

Economia de escala constante (retornos constantes à escala),
Insumos em proporções fixas,
Os produtos importados não serão exportados diretamente, mas passarão por processamento,
A economia é impulsionada pela demanda final (governo, exportações, consume das famílias e investimento),
Oferta perfeitamente elástica de insumos,
A tecnologia é constante no ano.

2.1 Multiplicadores

Multiplicador do tipo I (Modelos Abertos)

A demanda das famílias é exógena. Efeito Direto (próprio setor) e Indireto (Cadeia Produtiva)

Multiplicador do tipo II (Modelos Fechdos para as Famílias)

A demanda das famílias é endógena (Efeito Induzio). Neste caso temos os efeitos Direto, Indireto e o Induziodo (efeito renda)

2.2 Relações Fundamentais

Tabela de Insumo-Produto para uma economia com 2 setores, i e j

A tabela permite estabelecer a seguinte igualdadade \[X_1 + X_2 + C + G + I + E = X_1 + X_2 + M + T + W\]

Eliminado $X_1$ e $X_2$ de ambos os lados, tem–se: \[C + G + I + E = M + T + W\]

Rearranjando os termos: \[C + G + I + (E - M) = T + W\] Identidade Macro econômica.

A partir disso, e generalizando para o case de n setores, tem-se:

\[\sum_{j=1}^{n} = Z_{ij} + \underbrace{c_i + g_i + I_i + e_i}_{\text{Demanda Final = } y_i} \equiv x_i \qquad i = 1,\ldots,n\]

em que:

$Z_{ij}$ é o quanto que o setor j utiliza de insumos do setor i

Dada as característica da matriz insumo–produto, pode–se calcular os coeficientes técnicos da matriz.

\[a_{ij} = Z_{ij}/x_j\]

rearranjando

\[Z_{ij} = a_{ij}x_j\]

As duas expressões acima mostram quanto se usa do insumo ($z_{ij}$) para produzir o produto ($x_j$), dado o coeficiente técnico $aij$ que é, também, chamado de coeficiente de insumo–produto ou coeficiente direto de insumo.

Em termos matriciais : $\mathbf{A} = \mathbf{Z}\mathbf{\hat{X}}^{-1}$

Assumindo-se que os fluxos intermediários por unidade do produto final são fixos (pressuposto), pode-se derivar o sistema aberto de Leontief¹, ou seja:

\[\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j + y_i = x_i \qquad i = 1,\ldots,n\]

Em que:

$a_{ij}$ é o coeficiente técnico que indica a quantidade de insumo do setor i necessária para a produção de uma unidade modetária de produto final do setor j;

$y_i$ é a demanda final por produtos do setor i, $c_i + g_i + i_i + e_i$.

Em termos matriciais, a equação acima pode ser escrita da seguinte forma: \[\mathbf{Ax}+\mathbf{y} = \mathbf{x}\]

em que A é a matriz de coeficientes diretos de insumo de ordem (n x n) e mostra o que cada setor vai precisar de si mesmo e dos outros setores (em termos de insumos) para sua produção; x e y são vetores colunas de ordem (n x 1):

\[\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn} \end{bmatrix} \qquad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix} \qquad \mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_1\\ \vdots\\ y_n \end{bmatrix} \]

Resolvendo a equação acima é possível obter a produção total necessária para satisfazer a demanda final, ou seja: \[ \begin{align*} \mathbf{x} & = \mathbf{Ax} + \mathbf{y}\\ \mathbf{x} - \mathbf{Ax} & = \mathbf{y}\\ (\mathbf{I} - \mathbf{A})\mathbf{x} & = \mathbf{y}\\ \mathbf{x} & = (\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{y} \end{align*}\]

Em que $\mathbf{x} = (\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{y}$ é conhecido como modelo de Leontief.

$(\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}$ é a matriz de coeficientes diretos e indiretos, também conhecida como a inversa de Leontief.

$\mathbf{L} = (\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}$ mostra o que cada setor vai fornecer para todos os setores para que a demanda final seja atendida. Sendo assim, o elemento $l_{ij}$ pode ser interpretado como sendo a produção total do setor i que é necessária para atender a uma unidade da demanda final do setor j.

2.3 Exemplo

Vejamos um exemplo extraído do Miller and Blair (2009).

$Fluxos $Z_{ij}$ para um exemplo hipotético Fonte: @Miller2009$

Fluxos $Z_{ij}$ para um exemplo hipotético Fonte: Miller and Blair (2009)

Vejamos o código em R para realizarmos os cálculos

MIP = matrix(c(150,500,350,1000,200,100,1700,2000,650,1400,1100,3150,1000,2000,3150,6150),4,4,byrow = T)
MIP

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]  150  500  350 1000
## [2,]  200  100 1700 2000
## [3,]  650 1400 1100 3150
## [4,] 1000 2000 3150 6150

# Matriz Z
Z = MIP[1:2,1:2]
Z

##      [,1] [,2]
## [1,]  150  500
## [2,]  200  100

# vetor y
y = MIP[1:2,3]
y

## [1]  350 1700

# Vetor x
x = MIP[1:2,4]
x

## [1] 1000 2000

# Matriz A
A = Z%*%solve(diag(x))
A

##      [,1] [,2]
## [1,] 0.15 0.25
## [2,] 0.20 0.05

Observando a matriz de coeficientes técnicos $\mathbf{A}$ verifica–se que o setor 1 compra $0,15 dele mesmo e $0.20 do setor 2 para realizar sua produção. POr outro lado, o setor 2 compra $0,05 dele mesmo e $0,25 do setor 1. É preciso ter em mente que ao se aumenar a produção do setor 1, esse irá demandar insumos dele mesmo e do setor 2, mas para o setor 2 atender a essa nova demanda irá precisar de insumo do setor 1. Esse efeito cíclico se repete indefinidamente e que pode ser captado pela inversa de Leontief.

# inversa de Leontief
L = solve(diag(2) - A)
L

##           [,1]     [,2]
## [1,] 1.2541254 0.330033
## [2,] 0.2640264 1.122112

Analisando os resultados obtidos tem–se que o aumento de uma unidade monetária do setor 1 implica em um aumento de produção de $ 1,254 do setor 1. $ 1 é para atender a demanda final e o restante serve de insumo para atender o setor 2 e para atender o setor 1 para que esse possa produzir insumos para o setor 2. O setor 2 irá produzir $ 0,264, necessária para atender o setor 1 e para atender a si mesmo para que esse possa atender o setor 1. Somand–se na coluna tem–se o impacto do aumento de uma unidade monetária da demanda final do setor na economia.

# calculo dos multiplicadores de produção
MP = colSums(L)
MP

## [1] 1.518152 1.452145

O setor 1 apresenta um multiplicador de produção igual a 1,518. Isso significa que um aumento de uma unidade monetária na demanda final do setor 1 a economia como um todo irá aumentar sua produção em $1,518. O impacto do setor 2 será de $ 1,452. Isso faz com que o setor 1 se um setor importante para o aumento da produção na economia, mas isso não significa que ele seja importante também na geração de empregos e de renda, assundo que será tratado em outro post.

References

Guilhoto, J. J. M. 2011. “Análise Insumo–Produto: Teoria, Fundamentos e Aplicações.” Working Paper MPRA Paper 32566. Muenchen: Depto de Economia (FEA–USP). https://mpra.ub.uni-muenchen.de/32566/2/.

Miller, R. E., and P. D. Blair. 2009. Input-Output Analysis: Foundations and Extensions. New York: Cambridge University Press.

O sistema aberto de Leontief considera a demanda final como exógena.↩︎

Introdução a Teoria de Insumo Produto

Prof. Umberto A. Sesso Filho

Prof. Ricardo Luis Lopes